정종영 확통 12~13강
이항정리에서 괄호는 상자, 제곱은 상자의 갯수
각 항은 이항정리의 빌반항
nCr = 이항계수
(x+1)의 n제곱
= xn xn-1 xn-2 x2 x 1
= nC0 nC1 nC2 nCn-2 nCn
이항정리 성질
x = 1 대입하면
2의 n제곱 = nC0 + nC1 + nC2 + nC3 + ... + nCn 총합 = 연속합
교대합 = x.= -1을 대입하면? nC0 - nC1 + nC2 - nC3 부호 교대
짝수합 = 2n제곱 = 2 X (nC0 + nC2 + nC4 + ...)
홀수합 = 2n제곱 = 2 X (nC1 + nC3 + nC5 + ...)
절반합 = n이 홀수면 n+1/2 개의 항의 합과 후반부 n+1/2개의 항의 합이 2n-1제곱으로 같음
홀수 번째 합의 계수들의 합 = 짝수 번째 계수들의 합 = 이항계수의 총합의 절반
이항정리의 규칙 - 파스칼 삼각형
개념1
1. nCr + nCr+1 = n+1C(큰 쪽 사용)
7C3
2. 8C3+8C4
9C4
3. 4C4=1=5C5
5C5+5C4=6C5
6C5+6C4=7C5
7C5+7C4=8C5
8C5+8C4=9C5
개념2
1. 6C0+6C1+6C2+6C3+6C4+6C5+6C6
= (1+1)6제곱 = 64
2. 7C0과 7C7은 각각 1과 같고 둘이 빠졌으니 2의 7제곱 - 2
= 126
3. nC0부터 nCn까지 부호가 교대로 나타나면 모두 더했을 때 0
nCr과 nCn-r은 같기 때문
4. 6C0 ... 6C6 짝수 형태기 때문에 2의 6제곱 / 2 = 32
개념4
2차항의 계수 구하기
2제곱부터 2차항의 계수가 나옴
(1+x)2제곱 = 2C2 = 3C3 +
(1+x)3제곱 = 3C2 +
(1+x)4제곱 = 4C2
4C3 + 4C2 = 5C3
5C3 + 5C2 = 6C3
최종적으론 12C3 = 12 X 11 X 10 / 3X2 = 220
13강
수학적 확률 = 사건 A가 일어나는 경우의 수 / 일어날 수 있는 모든 경우의 수
확률은 경우의 수 들 간의 비율
집합과의 관련성
시행 - 동일 조건에서 반복 가능하며 모든 결과가 우연에 의해 결정되는 실험이나 관찰(동전 던지기, 주사위 던지기 등)
표본공간(=전사건) - 어떤 시행에서 일어날 수 있는 모든 결과의 집합(경우의 수)
ex) 주사위에선 1,2,3,4,5,6 동전은 앞면 뒷면
사건 = 특정한 조건을 만족하는 결과들의 집합(표본공간의 부분집합)
ex) 한 개의 주사위를 던져 소수인 눈이 나오는 사건 - 2, 3, 5
근원사건
표본공간의 부분집합 중 하나의 원소로 이루어진 집합 - 각각 경우의 수
동전의 앞/뒤, 주사위의 1.2.3,4,5,6,
수학적 확률 한계 - 실제 자연 현상이나 사회 현상 중에는 각 사건이 일어날 가능성이 같을 정도로 기대되지 않음
여러 번 시행을 반복하여 얻어지는 결과를 통해 어떤 사건이 일어나는 가능성을 예측
어떤 시행을 n번 반복할 때(rn), n이 한없이 커짐에 따라 상대도수 rn/n이 일정한 값 p에 가까워지면 p를 사건 A의 '통계적 확률' 정의
어떤 사건 A가 발생할 수학적 확률이 p일 때, 시행 횟수 n이 충분히 커지면 사건 A가 발생하는 상대도수 rn/n은 수학적 확률 p에 가까워짐이 알려짐
하지만 시행 횟수가 무한히 늘어날 수는 없으니 n이 충분히 클 때의 상대도수 rn/n을 통계적 확률로 생각하기로 함
개념1
(1) - 1/5 P = 1 X 4! / 5!
(2) - P = 5C2 X 3! / 5! = 10X6 / 120 = 1/2
개념2
(1) - 4/10 X 3/9 = 2/15
P = 4P2 / 10P2.= 4X3 / 10X9
(2) - 4/10 X 6/9 = 4/15
P - 4P1 X 6P1 / 10P2
개념3
조합에 관한 공식이 필요
4C1 X 5C2 / 9C3
= 40/84 = 10/21
개념4(답 모름/스스로풀이)
2C2/6C2 = 1/15
개념5
9(남은 네 명의 학생이 서로 다른 사람 답안지 지목하는 경우) / 5!
한 명씩 뽑으면서 기회가 하나씩 줄어들기에 팩토리얼 사용
= 3/40
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